2단계 · 소문항 (2) 점 $\mathrm{P}$의 좌표와 쌍곡선 접선 $l$의 $x$절편 (10점) 포물선 $y^2 = 8x = 4 \cdot 2x$의 초점은 $\mathrm{F}(2, 0)$이므로, 제시문 【나】에 의하여 초점 $\mathrm{F}$에서 출발하여 점 $\mathrm{G}(4, 4\sqrt{2})$에서 반사된 빛은 $x$축에 평행한 직선 $y = 4\sqrt{2}$를 따라 직진한다. 이 직선과 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{12} - \dfrac{y^2}{4} = 1\;(x \ge 2\sqrt{3})$을 연립하면 $$\frac{x^2}{12} - \frac{32}{4} = 1 \implies \frac{x^2}{12} = 9 \implies x^2 = 108 \implies x = 6\sqrt{3} \quad (x > 0)$$ 이므로 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\mathbf{\mathrm{P}(6\sqrt{3}, \; 4\sqrt{2})}$이다. 제시문 【다】에 의하여 점 $\mathrm{P}(6\sqrt{3}, 4\sqrt{2})$에서의 쌍곡선의 접선 $l$의 방정식은 $$\frac{6\sqrt{3}x}{12} - \frac{4\sqrt{2}y}{4} = 1 \iff \frac{\sqrt{3}}{2}x - \sqrt{2}y = 1$$ 이며, 여기에 $y = 0$을 대입하면 접선 $l$의 $x$절편은 $\mathbf{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$이다.

3단계 · 소문항 (3) $\tan\gamma$와 반사광 연장선의 기울기 $\tan\delta$ (10점) 접선 $l : y = \dfrac{\sqrt{6}}{4}x - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$이 $x$축과 이루는 예각이 $\gamma$이므로 $\mathbf{\tan\gamma = \frac{\sqrt{6}}{4}}$이다.
입사광 $y = 4\sqrt{2}$는 $x$축에 평행하므로 입사광과 접선 $l$이 이루는 입사각의 크기는 엇각에 의하여 $\gamma$이다. 제시문 【나】에 의하여 반사각의 크기도 $\gamma$이므로, 반사된 빛의 연장선 $m$이 입사광($x$축과 평행)과 이루는 예각, 즉 $x$축과 이루는 예각은 $\delta = 2\gamma$이다. 따라서 탄젠트함수의 배각공식(덧셈정리)에 의하여 $$\tan\delta = \tan 2\gamma = \frac{2\tan\gamma}{1 - \tan^2\gamma} = \frac{2 \times \dfrac{\sqrt{6}}{4}}{1 - \dfrac{6}{16}} = \frac{\dfrac{\sqrt{6}}{2}}{\dfrac{10}{16}} = \mathbf{\frac{4\sqrt{6}}{5}}$$

1단계 · 소문항 (1) 역함수의 미분법과 $g(t) = \tan\theta$ 도출 (10점) $f(x) = \sin x + 3x + 2$를 미분하면 $f'(x) = \cos x + 3$이고, 모든 실수 $t$에 대하여 $-1 \le \cos t \le 1$이므로 $2 \le f'(t) \le 4$이다. 따라서 접선 $l_1$의 기울기는 $m_1 = f'(t) = \cos t + 3$이고, 제시문 【나】의 역함수의 미분법에 의하여 점 $(f(t), t)$에서의 접선 $l_2$의 기울기는 $$m_2 = (f^{-1})'(f(t)) = \frac{1}{f'(t)} = \frac{1}{\cos t + 3}$$ 이다. $m_1 = \cos t + 3 \ge 2 > 1 \ge m_2 > 0$이므로 $m_1 - m_2 > 0$이며, 제시문 【가】에 의하여 $$g(t) = \tan\theta = \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} = \frac{(\cos t + 3) - \dfrac{1}{\cos t + 3}}{1 + (\cos t + 3)\cdot\dfrac{1}{\cos t + 3}} = \mathbf{\frac{(\cos t + 3)^2 - 1}{2(\cos t + 3)}} = \frac{1}{2}\left(\cos t + 3 - \frac{1}{\cos t + 3}\right)$$ 이다. 여기에 $t = \dfrac{\pi}{2}$를 대입하면 $\cos\dfrac{\pi}{2} = 0$이므로 $\mathbf{g\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{3^2 - 1}{2 \times 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}}$이다.

2단계 · 소문항 (2) 함수 $g(t)$의 최댓값과 최솟값 (10점) $u = \cos t + 3$이라 놓으면 $-1 \le \cos t \le 1$이므로 $2 \le u \le 4$이다. 구간 $[2, 4]$에서 함수 $h(u) = \dfrac{1}{2}\left(u - \dfrac{1}{u}\right)$를 미분하면 $$h'(u) = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{u^2}\right) > 0$$ 이므로 $h(u)$는 닫힌구간 $[2, 4]$에서 순증가한다. 따라서
• $u = 4$ ($\cos t = 1$)일 때 최댓값: $h(4) = \dfrac{4^2 - 1}{2 \times 4} = \mathbf{\frac{15}{8}}$
• $u = 2$ ($\cos t = -1$)일 때 최솟값: $h(2) = \dfrac{2^2 - 1}{2 \times 2} = \mathbf{\frac{3}{4}}$

3단계 · 소문항 (3) 치환적분법을 이용한 정적분 계산 (10점) 정적분 $\displaystyle\int_{f(0)}^{f(2\pi)} g(f^{-1}(x))\,dx$에서 $x = f(t)$로 치환하면 $dx = f'(t)\,dt = (\cos t + 3)\,dt$이고, $x = f(0)$일 때 $t = 0$, $x = f(2\pi)$일 때 $t = 2\pi$이다. 제시문 【다】에 의하여 $$\begin{aligned} \int_{f(0)}^{f(2\pi)} g(f^{-1}(x))\,dx &= \int_0^{2\pi} g(t)f'(t)\,dt = \int_0^{2\pi} \frac{(\cos t + 3)^2 - 1}{2(\cos t + 3)}\cdot(\cos t + 3)\,dt \\ &= \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} \left(\cos^2 t + 6\cos t + 8\right)dt = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} \left(\frac{1 + \cos 2t}{2} + 6\cos t + 8\right)dt \\ &= \frac{1}{2}\left[\frac{17}{2}t + \frac{1}{4}\sin 2t + 6\sin t\right]_0^{2\pi} = \frac{1}{2} \times 17\pi = \mathbf{\frac{17}{2}\pi} \end{aligned}$$

1단계 · 소문항 (1) 정적분 변환과 부분적분법을 이용한 $I_0, I_1$ 계산 (14점) $\Delta x = \dfrac{2}{n}, \; x_i = \dfrac{2i}{n}$이므로 제시문 【나】의 정적분과 급수의 합 사이의 관계에 의하여 $$I_0 = \lim_{n\to\infty}\sum_{j=1}^n g(x_j)\Delta x = \int_0^2 e^{-ax}\,dx = \left[-\frac{1}{a}e^{-ax}\right]_0^2 = \mathbf{\frac{1 - e^{-2a}}{a}}$$ 이다. 또한 제시문 【다】의 부분적분법($u(x) = x, \; v'(x) = e^{-ax}$)에 의하여 $I_1$은 다음과 같다. $$I_1 = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n x_i g(x_i)\Delta x = \int_0^2 x e^{-ax}\,dx = \left[-\frac{x}{a}e^{-ax}\right]_0^2 + \frac{1}{a}\int_0^2 e^{-ax}\,dx = -\frac{2}{a}e^{-2a} + \frac{1 - e^{-2a}}{a^2} = \mathbf{\frac{1 - (2a + 1)e^{-2a}}{a^2}}$$

2단계 · 소문항 (2) 기댓값의 극한 $\lim_{n\to\infty}\mathrm{E}(X_n)$ 도출 (12점) 제시문 【가】에 의하여 $X_n$의 기댓값은 분모와 분자에 $\Delta x = \dfrac{2}{n}$를 곱하여 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\mathrm{E}(X_n) = \sum_{i=1}^n x_i \mathrm{P}(X_n = x_i) = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i g(x_i)\Delta x}{\displaystyle\sum_{j=1}^n g(x_j)\Delta x}$$ 따라서 $n \to \infty$일 때의 극한값은 (1)의 결과로부터 다음과 같다. $$\lim_{n\to\infty}\mathrm{E}(X_n) = \frac{I_1}{I_0} = \frac{\dfrac{1 - (2a + 1)e^{-2a}}{a^2}}{\dfrac{1 - e^{-2a}}{a}} = \frac{1 - e^{-2a} - 2a e^{-2a}}{a(1 - e^{-2a})} = \mathbf{\frac{1}{a} - \frac{2}{e^{2a} - 1}}$$

3단계 · 소문항 (3) $I_2$ 계산 및 분산의 극한 $\lim_{n\to\infty}\mathrm{V}(X_n)$ 도출 (14점) 제시문 【나】와 【다】의 부분적분법($u(x) = x^2, \; v'(x) = e^{-ax}$)을 이용하면 $$I_2 = \int_0^2 x^2 e^{-ax}\,dx = \left[-\frac{x^2}{a}e^{-ax}\right]_0^2 + \frac{2}{a}\int_0^2 x e^{-ax}\,dx = -\frac{4}{a}e^{-2a} + \frac{2}{a}I_1 = \mathbf{\frac{2 - (4a^2 + 4a + 2)e^{-2a}}{a^3}}$$ 이다. 이때 $\lim_{n\to\infty}\mathrm{E}(X_n^2) = \dfrac{I_2}{I_0} = \dfrac{2(1 - e^{-2a}) - 4a e^{-2a} - 4a^2 e^{-2a}}{a^2(1 - e^{-2a})} = \dfrac{2}{a^2} - \dfrac{4a + 4a^2}{a^2(e^{2a} - 1)}$이므로, 제시문 【가】에 의하여 분산의 극한은 다음과 같다. $$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\mathrm{V}(X_n) &= \frac{I_2}{I_0} - \left(\frac{I_1}{I_0}\right)^2 = \left(\frac{2}{a^2} - \frac{4}{a(e^{2a} - 1)} - \frac{4}{e^{2a} - 1}\right) - \left(\frac{1}{a^2} - \frac{4}{a(e^{2a} - 1)} + \frac{4}{(e^{2a} - 1)^2}\right) \\ &= \frac{1}{a^2} - \frac{4(e^{2a} - 1) + 4}{(e^{2a} - 1)^2} = \mathbf{\frac{1}{a^2} - \frac{4e^{2a}}{(e^{2a} - 1)^2}} \end{aligned}$$